KaleidoTile
Pavages et symétrie
Questions pour des petits groupes d'étude utilisant KaleidoTile
Préchauffage
Jouer avec KaleidoTile. Expérimenter avec différentes symétries et différentes couleurs ou images. Laisser chaque personne de votre groupe concevoir un pavage qu'il (elle) pense être particulièrement beau. Vous pouvez utiliser les images toutes faites de la palette d'image de KaleidoTile ou vous pouvez coller vos propres images en cliquant un des petits boutons en forme de presse-papiers. Préparer vos réponses à ces questions sur l'ordinateur, et copier-coller chaque pavage de préchauffage dans votre rapport.
Question nº1
Aller dans le menu Présentation et faites des expériences avec Afficher les images plates, Afficher les images réfléchies et Couper le long des droites de miroir. Expliquer les relations entre le polyèdre ou le pavage (dans la partie principale de la fenêtre) et le triangle fondamental (dans le panneau du coté droit).
Question nº2

Chaque motif de symétrie — ou groupe de symétrie — est nommé selon les angles de son triangle fondamental. Dire, par exemple, le triangle fondamental est un triangle droit 30-60-90. Chaque angle divise également 180°:

30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2

et donc, le groupe de symétrie est appelé un groupe de triangle (6,3,2). Habituellement, les gens listent les nombres dans l'ordre croissant, et l'appellent le groupe de triangle (2,3,6). Vous pouvez appeler le groupe de triangle (2,3,6) dans KaleidoTile soit en cliquant la fleur à 6 pétales sur le panneau de contrôle ou en sélectionnant Choisir les symétries à partir du menu Présentation et en choissant 2, 3 et 6.

Définition. Si vous démarrez avec un triangle avec des angles ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ), le groupe de symétrie résultant est appelé un groupe de triangle (pqr).

Si le triangle fondamental est un triangle droit 45-45-90, quel est le nom du groupe de triangle ?

Appeler ce groupe de triangle dans KaleidoTile et peindre les faces pour obtenir un pavage esthétique. Copier-coller le pavage dans votre rapport.

Question nº3

Quelquefois KaleidoTile produit un pavage d'une sphère, quelquefois un pavage d'un plan euclidien et quelquefois un pavage d'un plan hyperbolique. Trouver une règle simple qui vous permet de prédire lequel aura lieu pour un groupe de triangle (pqr) donné.

Astuce : Quel ensemble d'angles ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ) peuvent être les angles d'un triangle euclidien ?

Question nº4

Faire une liste de tous les groupes de triangle (pqr) possibles qui pavent le plan euclidien.

Faire une liste de tous les groupes de triangles (pqr) possibles qui pavent la sphère. Pour faire une sphère esthétique et ronde, aller à Choisir un style sur le panneau de contrôle et cliquer sur le symbole rond.

Lister trois groupes de triangles (pqr) différents qui pavent le plan hyperbolique. Combien de groupes de triangles (pqr) différents pavent le plan hyperbolique ?

Question nº5

Faire un ballon de football en utilisant KaleidoTile. Copier-coller une image de votre ballon de foot dans votre rapport.

Quel groupe de triangle (pqr) avez-vous utilisé ?

Question nº6

Aller dans la section Bouger le point-contrôle du panneau de contrôle et utilisez le petit point-contrôle rond, ou les trois couleurs se rencontrent.

Quelle positions du point-contrôle donnent des pavages avec toutes les faces régulières ? Une face régulière est une face dont les cotés ont tous la même longueur et dont les angles sont tous égaux.

Pouvez-vous positionner le point-contrôle tel que les faces d'une couleur sont régulières, tandis que les faces des deux autres couleurs ne le sont pas ? Si c'est le cas, copier et collez une image du pavage dans votre rapport. Si ce ne l'est pas, expliquer pourquoi.

Pouvez-vous positionner le point-contrôle tel que deux ensembles de faces (de différentes couleurs) sont régulières, tandis que l'ensemble restant de faces ne l'est pas ? Si c'est le cas, copier et collez une image du pavage dans votre rapport. Si ce ne l'est pas, expliquer pourquoi.

Question bonus

Les seuls angles permis pour le triangle fondamental sont

180°/2180°/3180°/4180°/5180°/6
=90°60°45°36°30°

Que se passerait-il si vous preniez un triangle fondamental avec des angles non-permis, comme 37°, 42° et 101°, et commenciez à les réfléchir à travers ses cotés pour faire un pavage ?