KaleidoTile
Tassellature e simmetria
Attività di studio per piccoli gruppi con KaleidoTile
Riscaldamento
Utilizza KaleidoTile. Sperimenta simmetrie, colori o immagini differenti. Ogni persona del proprio gruppo provi a creare una tassellatura che ritiene particolarmente bella. Si possono usare le immagini già contenute nel pannello di KaleidoTile o incollarne di nuove cliccando sul piccolo bottone a forma di blocco note. Scrivi le tue risposte a queste domande nel tuo computer, e copia e incolla la tassellatura di ogni persona del gruppo nella tua relazione.
Domanda #1
Tramite il menu Vista prova a selezionare o deselezionare le voci Mostra immagini originali, Mostra immagini riflesse e Mostra linee di riflessione. Spiega la relazione che intercorre tra il poliedro o la tassellatura (nella parte principale della finestra) ed il triangolo fondamentale (nel pannello laterale destro).
Domanda #2

Ogni modello di simmetria — o gruppo di simmetria — è denominato in base agli angoli del suo triangolo fondamentale. Supponiamo, ad esempio, che il triangolo fondamentale sia un triangolo rettangolo di angoli 30–60–90. Ogni angolo è un sottomultiplo intero di 180°:

30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2

e quindi il gruppo di simmetria è chiamato un gruppo triangolare (6,3,2). Normalmente, però, i numeri vengono indicati in ordine crescente, e quindi viene chiamato come gruppo triangolare (2,3,6). In KaleidoTile, il gruppo triangolare (2,3,6) può essere impostato o cliccando sul fiore a 6 petali sul pannello di controllo laterale o selezionando dal menu Vista la voce Scegli la simmetria… ed impostando 2, 3 e 6.

Definizione. Se si parte con un triangolo di angoli ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ), il gruppo di simmetria risultante è chiamato un gruppo triangolare (pqr).

Se il triangolo fondamentale è il triangolo rettangolo 45–45–90, qual'è il nome del gruppo triangolare?

Imposta questo gruppo triangolare in KaleidoTile e colora le facce ottenendo una bella tassellatura. Copia e incolla la tassellatura nella tua relazione.

Domanda #3

A volte KaleidoTile produce una tassellatura di una sfera, a volte una tassellatura di un piano euclideo, e qualche volta una tassellatura di un piano iperbolico. Trova una regola semplice per prevedere quale tipo di tassellatura risulterà da un dato gruppo triangolare (p, q, r).

Suggerimento: quale terna di angoli ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ) può corrispondere agli angoli di un triangolo euclideo?

Domanda #4

Elenca tutti i possibili gruppi triangolari (pqr) che pavimentano un piano euclideo.

Elenca tutti i possibili gruppi triangolari (pqr) che pavimentano una sfera. Per far sembrare la sfera bella e rotonda, clicca sul cerchio presente sulla sezione Scegli uno stile del pannello di controllo laterale.

Elenca tre differenti gruppi triangolari (pqr) che pavimentano un piano iperbolico. Complessivamente, quanti differenti gruppi triangolari (pqr) pavimentano un piano iperbolico?

Domanda #5

Crea un pallone da calcio con KaleidoTile. Copia e incolla l'immagine del tuo pallone da calcio nella tua relazione.

Quale gruppo triangolare (pqr) hai usato?

Domanda #6

Vai alla sezione Muovi punto di controllo del pannello di controllo laterale e sperimenta col piccolo punto di controllo, in cui i tre colori s'incontrano.

Quali posizioni del punto di controllo corrispondono a una tassellatura con tutte le facce regolari? Una faccia regolare è una faccia i cui lati hanno tutti la stessa lunghezza ed i cui angoli sono tutti uguali.

Puoi posizionare il punto di controllo in modo che le facce di un colore siano regolari, mentre non lo siano le facce degli altri due colori? Se sì, copia e incolla una immagine della tassellatura nella tua relazione. Se no, spiega perché ciò non è possibile.

Puoi posizionare il punto di controllo in modo che due insiemi di facce (di colori differenti) siano regolari, mentre il restante insieme di facce non lo sia? Se sì, copia e incolla una immagine della tassellatura nella tua relazione. Se no, spiega perché ciò non è possibile.

Domanda premio

I soli angoli consentiti per il triangolo fondamentale sono

180°/2180°/3180°/4180°/5180°/6
=90°60°45°36°30°

Cosa succede se usi un triangolo fondamentale di angoli non consentiti, ad es. 37°, 42° e 101°, ed incominci a rifletterlo rispetto ai propri lati per effettuare la tassellatura?