Constrói o análogo 4D de um tetraedro
Organiza quatro vértices vermelhos simétricamente à volta de um vértice violeta. A cor mostra que os vértices vermelhos se encontram na direção negativa da quarta dimensão (w < 0) enquanto o vértice violeta se encontra na direção positiva da quarta dimensão (w > 0). Os cinco vértices 0D e as dez arestas 1D do híper-tetraedro vão ser óbvios. Consegues encontrar também as suas cinco híper-faces 3D ("células")? Ainda mais desafiante, consegues encontrar todas as suas dez faces 2D?
Constrói o análogo 4D de um octaedro
Dica: Um octaedro 3D comum pode ser desenhado com os seus vértices em (±1, 0, 0), (0, ±1, 0) e (0, 0, ±1). Da mesma forma, um “híper-octaedro” 4D pode ser desenhado com os seus vértices em (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0) e (0, 0, 0, ±1).
Os vértices 0D e as arestas 1D do teu híper-octaedro vão ser óbvios. Consegues encontrar também as suas faces 2D e células 3D?
Constrói o análogo 4D de um cubo
Irás precisar de oito vértices vermelhos e oito vértices violeta. Cada vértice vermelho encontra-se exatamente na mesma localização 3D que o seu vértice violeta correspondente (mesmas coordenadas x, y e z). Quais pares de vértices precisas de conectar com arestas? Não te esqueças de conectar cada vértice vermelho com o seu vértice violeta correspondente.
Consegues encontrar as células 3D do híper-cubo? Quantas células 3D existem?
Consegues encontrar os seus dezasseis vértices 0D, as suas trinta e duas arestas 1D e as suas vinte e quatro faces 2D?
Que tipo de poliedro 4D obténs se conectares os vértices alternantes de um híper-cubo?
Para ires aquecendo, começa com um cubo 3D comum (faz ele todo verde no 4D Draw). Remove cada vértice alternado para que restem apenas quatro dos oito vértices originais do cubo. Conecta esses quatro vértices com arestas. Que tipo de poliedro criaste?
Agora tenta a mesma construção começando com um híper-cubo 4D. Remove cada vértice alternado para que restem apenas oito dos dezasseis vértices originais do híper-cubo. Onde deves pôr as arestas, para fazeres um híper-poliedro 4D convexo?
Consegues ver as células 3D deste híper-poliedro 4D? Quantas existem? Qual é a forma de cada uma?
Os vértices 0D e as arestas 1D deste híper-tetraedro 4D vão ser óbvios. Consegues achar também as suas faces 2D?
Compara este híper-poliedro 4D com o análogo 4D de um octaedro (ver acima). Quais as suas parecenças? Quais as suas diferenças?
Como se parece uma “fatia diagonal” de um híper-cubo?
Considera primeiro um desenho de um cubo 3D comum feito por uma pessoa bidimensional, se o cubo se encontrar com uma longa diagonal perpendicular com o mundo 2D dessa pessoa:
Se o mundo 2D passar por o centro do cubo, a fatia transversal irá ser um hexágono verde:
A questão agora é, se nós, pessoas tridimensionais, desenhássemos um híper-cubo 4D com a sua diagonal longa perpendicular ao nosso espaço 3D, e com o nosso espaço 3D a passar por o centro do híper-cubo, o que seria a fatia transversal 3D?
Dica: Começa por pôr o canto “mais baixo” em (0, 0, 0, vermelho). Adiciona os quatro cantos seguintes em (‑2, ‑2, ‑2, amarelo), (‑2, 2, 2, amarelo), (2, ‑2, 2, amarelo) e (2, 2, ‑2, amarelo). Depois continua a adicionar mais cantos, até que tenhas construído o híper-cubo completo. Finalmente, conecta os vértices no nível “verde” para ver como se parece a fatia tranversal do híper-cubo. Se quiseres, podes depois remover todos os vértices não-verdes do híper-cubo, para que possas mesmo ver a fatia diagonal, sem nenhuma distração (mas guarda uma cópia primeiro).
Come se parece a tesselação de um tabuleiro de xadrez “cortado e colado”?
Para aquecer, começa com um tabuleiro de xadrez 2D
separa cada quadrado alternado em quatro triângulos
e depois cola cada triângulo com o quadrado inteiro mais próximo
O resultado é outra vez um tabuleiro de xadrez, mas os novos quadrados estão inclinados 45° e têm o dobro da área dos quadrados antigos.
Agora constrói tu mesmo um tabuleiro de xadrez 3D (uma tesselação cúbica, toda verde) e imita o mesmo processo: separa cada cubo alternado em seis pirâmides, e depois cola cada pirâmide com o cubo inteiro mais próximo para chegares a uma nova tesselação do espaço 3D. Nesta nova tesselação, qual é a forma de cada célula 3D? Quantas faces 2D tem cada célula 3D? Essas faces 2D são regulares ou irregulares (isso é, são quadrados perfeitos ou apenas losangos)?
Finalmente, constrói tu mesmo um tabuleiro de xadrez 4D e imita o mesmo processo: separa cada híper-cubo alternado em oito híper-pirâmides, e depois cola cada híper-pirâmide com o híper-cubo mais próximo para chegares a uma nova tesselação do espaço 4D. Nesta nova tesselação, qual é a forma de cada híper-célula 4D? Quantas híper-faces 3D (“células”) tem cada híper-célula 4D? Essas células 3D são regulares ou irregulares?