萬花鏡
鑲嵌與對稱
使用萬花鏡進行小組研究的問題
熱身練習
玩一玩萬花鏡。嘗試用不同的對稱性和不同的顏色或圖片進行實驗。讓小組內的每個人做自己認為特別漂亮的鑲嵌圖案。你可以使用萬花鏡內置的圖片模板或者你可以通過點擊一個小剪貼板形按鈕粘貼你自己的圖片,把你對電腦上這些問題的答案全部寫出來,並複製和粘貼每個人練習時的鑲嵌圖案到你的報告里。
問題1
【顯示菜單並嘗試選擇【顯示原始圖像】【顯示反射圖像】【沿著鏡線切割】菜單項實驗。請說明多面體或鑲嵌(在窗口的主要部分)和基本的三角形(在右邊的面板上)的關係。
問題2

每一個對稱模式,或「對稱群」,的命名是根據它的基本三角形的角度。比如說,基本三角形是一個30°、60°、90°的直角三角形。每個內角都是180°的整數分之一。

30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2

因此,該對稱群稱為(6, 3, 2)三角群。然而,人們通常會按升序列出數字,並稱之為(2, 3, 6)三角群。你可以在萬花鏡里演示(2, 3, 6)三角群,可以通過點擊控制面板上的6個花瓣或通過從【顯示菜單選擇【選擇對稱…】並設置 2, 3 和 6。

定義:如果你從一個具有頂角( 180°/p, 180°/q, 180°/r )的三角形開始,由此產生的對稱群被稱為一個(,,)三角群。

如果三角形是一個45-45-90度的直角三角形,該三角群的名稱是什麼?

在萬花鏡里調出該三角群,並裝飾表面以得到一個漂亮的鑲嵌圖案,把該圖案複製並粘貼到你的報告里。

問題3

萬花鏡有時產生球形面的鑲嵌,有時產生歐氏面的鑲嵌,有時產生雙曲平面的鑲嵌。找到一條簡單的規則,讓你預測一個給定的(,,)三角群它將是哪一類。

提示:哪組角度( 180°/p, 180°/q, 180°/r )可以是一個歐幾里得三角形的角度?

問題4

作一列所有可能的(,,)三角群,它們鑲嵌歐氏面。

作一列所有可能的(,,)三角群,它們鑲嵌球形面。為了使你的球看起來很好,到控制面板上【作圖模式】區域然後點擊圓形符號。

列出三種不同的(,,)三角群鑲嵌雙曲平面。總共有多少不同的(,,)三角群鑲嵌雙曲平面?

問題5

使用萬花鏡作一個足球。複製並粘貼你的足球圖片到你的報告里。

你使用的是哪一個(,,)三角群?

問題6

到控制面板上【控制頂點】區域並嘗試移動小圓形「控制點」,它是三種顏色交匯的地方。

頂點在哪些位置給出的是正則圖形的鑲嵌?所謂「正則圖形」是一個面塊它的所有邊長都相等,所有頂角都相等。

你能定位控制點使得一種顏色的面是正則圖形,而另兩種顏色的面不是正則圖形?如果能這樣的話,複製和粘貼這種鑲嵌圖片到你的報告里。如果不能,解釋為什麼不能。

你能定位控制點使得2套面(不同顏色)是正則圖形,而剩下的面不是正則圖形?如果能這樣的話,複製和粘貼這種鑲嵌圖片到你的報告里。如果不能,解釋為什麼不能。

附加問題

基本三角形的僅有的允許的角度是

180°/2180°/3180°/4180°/5180°/6
=90°60°45°36°30°

如果你採用一個有著不允許的角度比如說37°, 42°和101°的基本三角形,開始沿著它的邊向外側反射(翻折)進行拼接會如何呢?