각각의 대칭 패턴(혹은 대칭군) 은 그것의 기초삼각형의 각도에 따라 이름 지어집니다. 예를 들어, 기초삼각형이 30-60-90도의 직각삼각형이라고 해 봅시다. 각각의 각도는 180°로 나누어떨어집니다 :
30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2
그래서 그 대칭군은 (6,3,2) 삼각군으로 불립니다. 사람들은 보통 오름차순으로 수를 나열하기 때문에 그것을 (2,3,6) 삼각군으로 부릅니다. 당신은 만화경 타일에서도 조작 패널의 6잎꽃을 클릭하거나
메뉴의 에서 2,3,6으로 설정하여 (2,3,6) 삼각군을 불러낼 수 있습니다.정의 : 당신이 실행한 삼각형의 각이 ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ) 이라면 그 대칭군의 결과물은 (p, q, r) 삼각군이 됩니다.
만약 기초삼각형이 45-45-90도의 직각삼각형이라면, 그것의 삼각군의 이름은?
만화경 타일에서 그 삼각군을 불러내고 멋진 타일링이 되도록 면을 꾸미세요. 그리고 타일링을 당신의 레포트에 복사해서 붙여 넣으세요.
만화경 타일은 때로는 구면 타일링, 때로는 유클리트 평면 타일링 만들고 쌍곡 평면 타일링 역시 만듭니다. 주어진 (p, q, r) 삼각군으로 부터 어떤 형태의 타일링이 얻어질지 예측할 수 있는 간단한 규칙을 찾아보세요.
힌트 : 어떤 ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ) 각이 유클리드 삼각형의 각도가 될 수 있습니까?
유클리드 평면 타일링을 이루는 모든 (p, q, r) 삼각군들의 리스트를 만들어 보세요.
구면 타일링을 이루는 모든 (p, q, r) 삼각군들의 리스트를 만들어 보세요. 구를 보기 좋은 둥근 모양으로 만들려면 조작 패널의 스타일 고르기에서 동그란 모양을 클릭하세요.
쌍곡 평면을 타일링하는 서로 다른 세 개의 삼각군 (p, q, r)을 열거하세요. 쌍곡 평면을 타일링하는 서로 다른 삼각군 (p, q, r)은 모두 몇 개입니까?
만화경 타일을 이용해 축구공을 만드세요. 당신의 레포트에 축구공 그림을 복사하고 붙여넣으세요.
어떤 (p, q, r) 삼각군을 사용했습니까?
조작 패널의 조정점 움직이기로 가서 작은 둥근 조정점을 가지고 어디에서 3가지 색이 만나는지 실험해보세요.
조정점이 어떤 위치에 있을 때 정다각형을 면으로 갖는 타일링이 될까요?
한 색의 면은 정다각형을 이루고 다른 두 색의 면은 정다각형을 이루지 않는 조정점의 선택이 가능할 까요? 만약 그렇게 할 수 있다면 여러분의 레포트에 그 타일링 그림을 복사하여 붙여넣기를 하세요. 그렇게 할 수 없다면 왜 안 되는지 설명해보세요.
서로 다른 색의 두 면은 정다각형을 이루고 나머지 한 색의 면은 정다각형을 이루지 않는 조정점의 선택이 가능할 까요? 만약 그렇게 할 수 있다면 여러분의 레포트에 그 타일링 그림을 복사하여 붙여넣기를 하세요. 그렇게 할 수 없다면 왜 안 되는지 설명해보세요.
기초 삼각형을 만드는 각도는 오직
180°/2 | 180°/3 | 180°/4 | 180°/5 | 180°/6 | … | |
= | 90° | 60° | 45° | 36° | 30° | … |
입니다. 기본삼각형을 이룰 수 없는, 예를 들어 세 꼭지각이 37°, 42°, 101°인 삼각형으로 타일링을 만들면 어떻게 될까요?