Cada tipo de simetria — ou grupo de simetria — é designado de acordo com os ângulos do seu triângulo fundamental. Suponhamos, por exemplo, que o triângulo fundamental é um triângulo retângulo 30-60-90. 180º é divisível pelo valor de cada ângulo:
30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2
e, por isso, o grupo de simetria é chamado o grupo triangular (6,3,2). No entanto, em geral as pessoas indicam os números em ordem ascendente e chamam-lhe grupo triangular (2,3,6). No Kaleidotile, pode invocar o grupo triangular (2,3,6), quer clicando na flor de 6 pétalas no painel de controlo, quer selecionando
a partir do menu e escolhendo 2, 3 e 6.Definição. Se começar com um triângulo com ângulos ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ), o grupo de simetria resultante diz-se um grupo triangular (p, q, r).
Se o triângulo fundamental for um triângulo retângulo 45–45–90, qual é o nome do grupo triangular?
Invoque aquele grupo triangular no Kaleidotile e pinte as faces para obter uma pavimentação com bom aspeto. Copie e cole a pavimentação para o seu relatório.
Às vezes o KaleidoTile produz uma pavimentação de uma superfície esférica, outras vezes de um plano euclidiano e outras vezes de um plano hiperbólico. Encontre uma regra simples que lhe permita prever qual destes casos terá lugar, para um dado grupo triangular (p, q, r).
Sugestão: Que ângulos ( 180°/p, 180°/q, 180°/r ) podem ser os ângulos de um triângulo euclidiano?
Faça uma lista de todos os grupos triangulares possíveis (p, q, r) que pavimentam o plano euclidiano.
Faça uma lista de todos os grupos triangulares possíveis (p, q, r) que pavimentam a superfície esférica. Para tornar bonita e redonda a sua superfície esférica, vá a Escolher um estilo no painel de controlo e clique no símbolo redondo.
Faça uma lista de três grupos triangulares (p, q, r) diferentes que pavimentem o plano hiperbólico. Ao todo, quantos grupos triangulares diferentes pavimentam o plano hiperbólico?
Faça uma bola de futebol utilizando o KaleidoTile. Copie e cole no seu relatório uma imagem da bola de futebol.
Que grupo triangular (p, q, r) utilizou?
Vá à secção Mover o ponto-controlo do Painel de Controlo e experimente com o pequeno ponto-controlo, em que as três cores se encontram.
Que posições do ponto-controlo dão pavimentações com todas as faces regulares? Uma face regular é uma face cujos lados têm todos o mesmo comprimento e cujos ângulos são todos iguais.
Pode colocar o ponto-controlo por forma que todas as faces de uma cor sejam regulares, enquanto as faces das outras duas cores não sejam? Se sim, copie e cole uma imagem da pavimentação para o seu relatório. Se não, explique porquê.
Pode colocar o ponto-controlo numa posição tal que para dois conjuntos de faces (de cores diferentes) elas sejam regulares, enquanto para o restante conjunto de faces não sejam? Se sim, copie e cole uma imagem da pavimentação no relatório. Se não, explique porquê.
Os únicos ângulos legais para o triângulo fundamental são
180°/2 | 180°/3 | 180°/4 | 180°/5 | 180°/6 | … | |
= | 90° | 60° | 45° | 36° | 30° | … |
O que aconteceria se escolhêssemos um triângulo fundamental com ângulos ilegais, por exemplo, 37°, 42° e 101°, e começássemos a refletir ao longo dos seus lados, para fazermos uma pavimentação?