万花镜
镶嵌与对称
使用万花镜进行小组研究的问题
热身练习
玩一玩万花镜。尝试用不同的对称性和不同的颜色或图片进行实验。让小组内的每个人做自己认为特别漂亮的镶嵌图案。你可以使用万花镜内置的图片模板或者你可以通过点击一个小剪贴板形按钮粘贴你自己的图片,把你对电脑上这些问题的答案全部写出来,并复制和粘贴每个人练习时的镶嵌图案到你的报告里。
问题1
【显示菜单并尝试选择【显示原始图像】【显示反射图像】【沿着镜线切割】菜单项实验。请说明多面体或镶嵌(在窗口的主要部分)和基本的三角形(在右边的面板上)的关系。
问题2

每一个对称模式,或“对称群”,的命名是根据它的基本三角形的角度。比如说,基本三角形是一个30°、60°、90°的直角三角形。每个内角都是180°的整数分之一。

30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2

因此,该对称群称为(6, 3, 2)三角群。然而,人们通常会按升序列出数字,并称之为(2, 3, 6)三角群。你可以在万花镜里演示(2, 3, 6)三角群,可以通过点击控制面板上的6个花瓣或通过从【显示菜单选择【选择对称…】并设置 2, 3 和 6。

定义:如果你从一个具有顶角( 180°/p, 180°/q, 180°/r )的三角形开始,由此产生的对称群被称为一个(,,)三角群。

如果三角形是一个45-45-90度的直角三角形,该三角群的名称是什么?

在万花镜里调出该三角群,并装饰表面以得到一个漂亮的镶嵌图案,把该图案复制并粘贴到你的报告里。

问题3

万花镜有时产生球形面的镶嵌,有时产生欧氏面的镶嵌,有时产生双曲平面的镶嵌。找到一条简单的规则,让你预测一个给定的(,,)三角群它将是哪一类。

提示:哪组角度( 180°/p, 180°/q, 180°/r )可以是一个欧几里得三角形的角度?

问题4

作一列所有可能的(,,)三角群,它们镶嵌欧氏面。

作一列所有可能的(,,)三角群,它们镶嵌球形面。为了使你的球看起来很好,到控制面板上【作图模式】区域然后点击圆形符号。

列出三种不同的(,,)三角群镶嵌双曲平面。总共有多少不同的(,,)三角群镶嵌双曲平面?

问题5

使用万花镜作一个足球。复制并粘贴你的足球图片到你的报告里。

你使用的是哪一个(,,)三角群?

问题6

到控制面板上【控制顶点】区域并尝试移动小圆形“控制点”,它是三种颜色交汇的地方。

顶点在哪些位置给出的是正则图形的镶嵌?所谓“正则图形”是一个面块它的所有边长都相等,所有顶角都相等。

你能定位控制点使得一种颜色的面是正则图形,而另两种颜色的面不是正则图形?如果能这样的话,复制和粘贴这种镶嵌图片到你的报告里。如果不能,解释为什么不能。

你能定位控制点使得2套面(不同颜色)是正则图形,而剩下的面不是正则图形?如果能这样的话,复制和粘贴这种镶嵌图片到你的报告里。如果不能,解释为什么不能。

附加问题

基本三角形的仅有的允许的角度是

180°/2180°/3180°/4180°/5180°/6
=90°60°45°36°30°

如果你采用一个有着不允许的角度比如说37°, 42°和101°的基本三角形,开始沿着它的边向外侧反射(翻折)进行拼接会如何呢?