每一個對稱模式,或「對稱群」,的命名是根據它的基本三角形的角度。比如說,基本三角形是一個30°、60°、90°的直角三角形。每個內角都是180°的整數分之一。
30° = 180° / 6
60° = 180° / 3
90° = 180° / 2
因此,該對稱群稱為(6, 3, 2)三角群。然而,人們通常會按升序列出數字,並稱之為(2, 3, 6)三角群。你可以在萬花鏡里演示(2, 3, 6)三角群,可以通過點擊控制面板上的6個花瓣或通過從
菜單選擇 並設置 2, 3 和 6。定義:如果你從一個具有頂角( 180°/p, 180°/q, 180°/r )的三角形開始,由此產生的對稱群被稱為一個(p,q,r)三角群。
如果三角形是一個45-45-90度的直角三角形,該三角群的名稱是什麼?
在萬花鏡里調出該三角群,並裝飾表面以得到一個漂亮的鑲嵌圖案,把該圖案複製並粘貼到你的報告里。
萬花鏡有時產生球形面的鑲嵌,有時產生歐氏面的鑲嵌,有時產生雙曲平面的鑲嵌。找到一條簡單的規則,讓你預測一個給定的(p,q,r)三角群它將是哪一類。
提示:哪組角度( 180°/p, 180°/q, 180°/r )可以是一個歐幾里得三角形的角度?
作一列所有可能的(p,q,r)三角群,它們鑲嵌歐氏面。
作一列所有可能的(p,q,r)三角群,它們鑲嵌球形面。為了使你的球看起來很好,到控制面板上【作圖模式】區域然後點擊圓形符號。
列出三種不同的(p,q,r)三角群鑲嵌雙曲平面。總共有多少不同的(p,q,r)三角群鑲嵌雙曲平面?
使用萬花鏡作一個足球。複製並粘貼你的足球圖片到你的報告里。
你使用的是哪一個(p,q,r)三角群?
到控制面板上【控制頂點】區域並嘗試移動小圓形「控制點」,它是三種顏色交匯的地方。
頂點在哪些位置給出的是正則圖形的鑲嵌?所謂「正則圖形」是一個面塊它的所有邊長都相等,所有頂角都相等。
你能定位控制點使得一種顏色的面是正則圖形,而另兩種顏色的面不是正則圖形?如果能這樣的話,複製和粘貼這種鑲嵌圖片到你的報告里。如果不能,解釋為什麼不能。
你能定位控制點使得2套面(不同顏色)是正則圖形,而剩下的面不是正則圖形?如果能這樣的話,複製和粘貼這種鑲嵌圖片到你的報告里。如果不能,解釋為什麼不能。
基本三角形的僅有的允許的角度是
180°/2 | 180°/3 | 180°/4 | 180°/5 | 180°/6 | … | |
= | 90° | 60° | 45° | 36° | 30° | … |
如果你採用一個有著不允許的角度比如說37°, 42°和101°的基本三角形,開始沿著它的邊向外側反射(翻折)進行拼接會如何呢?