# 多重連結空間について

トーラス・ゲームズは、三目並べ、迷路、チェスなどのゲームで遊ぶことを通して、数学でいわれる「多重連結空間」、有限でありながら端のない空間が、どのようなものなのか、子供達（１０歳以上推奨、大人も含む）が直感的かつ視覚的に、理解できるようになることを、目標にしています。

「有限でありながら端のない空間」とは、どのような空間なのでしょう。基本的な考え方は簡単です。図のように、一枚の正方形の紙の上に、お魚の絵を描いたとしましょう。このお魚（カレイくんです）の住む２次元世界は有限で、４つの端に囲まれています。

この紙を縦に丸めて、右端と左端とを、糊付けしたとします。すると、カレイくんの住む世界は円筒形になって、カレイくんが東に進めば、円筒を一周して、西側から出発点に戻って来ます。

もし、紙を横に丸めて、上端と下端とを、糊付けしたらどうでしょう。カレイくんの住む世界は、今度は円筒を横に寝かせた形になります。カレイくんが、左に９０度向きを変えて、北に進めば、円筒を一周して、南側から出発点に戻って来ます。

では、紙の右端と左端とを、そして上端と下端とを、同時に糊付けしたならば、どうなるでしょう。カレイくんの住む世界からは端がなくなってしまって、彼が東西に進んでも、南北に進んでも、糊付け部分を回って、もとに戻って来ます。これが「有限でありながら端のない空間」の一例です。もっとも、実際に紙をそのように糊付けしようとすると、グチャグチャになってしまって、紙面上に張り付いたカレイくんの立場に立ってみたとき、自分の住む世界が、どのような「形」をしているように見えるのか、よくわかりません。

幸いなことに、このように、端どうしがつながって、無くなってしまっている空間は、紙をグチャグチャにしなくても、コンピュータ上で再現できます。トーラス・ゲームズのゲーム空間は、まさに正方形の右端と左端とが、そして上端と下端とが、ともにつながってしまっている空間なのです。

実際に、体験してみましょう： 「ヘルプ」メニューから 「ヘルプ」ボタンを押してヘルプ・メニューに戻り、「鰈と鮃のトポロジー入門」を選択してください。画面には、正方形の海底に住む、カレイ（鰈）くんが現れます。カレイくんを動かして、この海底を探検して見てください。カレイくんが、右端から出て行くと左端から入ってくるし、上端から出て行くと下端から入ってきます。カレイくんは、どんなに進み続けても、この世界の端に行き着くことはありません。これが、正方形の右端と左端とが、そして上端と下端とが、ともに繋がってしまっている、有限でありながら端の無い空間の「形」です。数学では、空間の「形」のことを「トポロジー」と言いますが、カレイくんの住む世界の「トポロジー」は、「トーラス」と呼ばれるものです。

端の無い正方形空間の「トポロジー」は、「トーラス」だけではありません。トーラス・ゲームズには、もうひとつ、「クラインの壺」と呼ばれる「トポロジー」が用意されています。「トポロジー」メニューから「クラインの壺」を選択してください。このヘルプ・パネルを閉じてから、ツールバーの「オプション」ボタンを押し、続いて「トポロジー」のリストから「クラインの壺」を選択してください。「クラインの壺」は、「トーラス」とは、上端と下端のつながり方が違います。「トーラス」では、カレイくんが上端から出て行くと、そのまま下端から入って来ますが、「クラインの壺」では、カレイくんが上端から出て行くと、下端から入ってくるのはカレイくんではなく、ヒラメ（鮃）くんです。「クラインの壺」は、正方形の上端と下端とが、ねじれてつながっている「トポロジー」です。この世界では、上下に進むと左右が入れ替わってしまうため、カレイくんがヒラメくんになってしまったり、ヒラメくんがカレイくんになってしまったりします。カレイ／ヒラメくん自身には、自分の住む世界は、どう見えているのでしょう。「トーラス」でも「クラインの壺」でも、カレイ／ヒラメくんは上下左右、どちらを見ても、空間がつながってしまっているので、自分自身を含む、世界のコピーが無限につながっているのが見えるはずです。その様子を見るには「表示」メニューから「タイル張り」を選んで下さい。

トーラス・ゲームズの、全てのゲームは、カレイ／ヒラメくんの住む世界と、同様の空間で行われます。このヘルプ・パネルを閉じてから、ツールバーの「ゲーム変更」ボタンを押して、ゲーム選択パネルを呼び出し、「ジグソー・パズル」を選んでください。そして、現れたパズルのピースを動かし、ゲーム空間の上端から、外へと押し出してみましょう。すると、カレイ／ヒラメくん同様、ピースは下端から、ゲーム空間内へと戻ってきます。ピースを右端から押し出せば、左端から戻ってきます。このように、ピースを動かしながら、パズルを完成させてください。

ゲーム空間を見る視点を変えるには、ゲームのコマではなく、ゲーム盤の方を直接クリックし、ドラッグします：２本指でドラッグしてゲーム盤をスクロールします。すると、画面の片側から外へと出て行った部分のゲーム盤は、そのまま反対側から画面内に戻って来ます。このように、ゲームで遊びながら、ゲーム空間を見る視点を色々と変えてみることによって、ゲーム空間の「形」がより良くわかるだけでなく、「有限でありながら端のない空間」一般を理解するための、直感が養われるはずです。

２Ｄトーラス・ゲームズを十分に堪能し、有限でありながら端のない、２次元の「多重連結空間」に慣れ親しんだならば、３次元の「多重連結空間」について考えてみましょう。「ヘルプ」メニューから「ヘルプ」ボタンを押してヘルプ・メニューに戻り、「遊び方３Ｄ」を選択してください。

人工衛星をつかった観測によって、我々の住む、現実の３次元宇宙も、ちょうどトーラス・ゲームズのゲーム空間のように、「多重連結空間」になっている可能性が示唆されています。ただ、まだまだ情報が不足していて、確たる結論は出せずにいます。

また、高校生以上の方が対象ですが、「曲面と３次元多様体を視る—空間の形」（The Shape of Space）という本が、多重連結空間について、より深く解説しています。

このページの日本語への翻訳は、竹内建（Tatsu Takeuchi）が担当しました。（２０１１年１月更新）

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